Стратегия зайца в том, чтобы заставить волка пробежать больше, чем половину окружности. Это возможно лишь при смене направления движения зайца: сначала уплывает от волка по радиусу в противоположную сторону, смотрит, в какую сторону стал оббегать озеро волк, и проплыв часть пути по радиусу заяц поворачивается и чешет к берегу. Это если про стратегию, без формул:)
Вот пример симуляции, окружность радиусом 10м, скорость зайца 1м/с, значит скорость волка - 4м/с. На 13-й секунде зайцу напрямую до берега плыть примерно 7,5 секунд, а волку больше 8 секунд понадобится, так что заяц успеет свалить
Это сообщение отредактировал Еремис - 29 ноя 2024 в 05:35
Лан, сдаюсь. Касательная работает. Попробовал несколько итераций. Если заяц с безопасной окружности метнется по касательной в одну сторону и запустит туда волка, а потом развернется в противоположную, угол будет сохраняться меньше 180 градусов, и волк будет продолжать бежать по большой дуге в 255,5°. Тогда предельный коэффициент действительно около 4.6. Отличная задача для разминки мозгов!
А где гарантия, что Волк побежит по длинной дуге, почти в 3/4 L, а не по короткой длиной 1/4 L ? Да и число 4.6 желательно как-то обосновать математически. И где гарантия, что это именно оптимальная стратегия для Зайца?
Да, очень красивая задача, любители математики оценят
Гарантия в том, что в любой момент времени волку выгоднее бежать в ту сторону, где угол между ним и зайцем меньше 180 градусов. Если заяц вышел за безопасную окружность радиусом 1/x, угловая скорость волка всегда больше, чем угловая скорость зайца. Поэтому, пока заяц не вернулся в безопасную окружность, волк будет постепенно его обгонять, и ему не будет смысла менять направление. Так что заяц делает шажок от противоположной волку точки на безопасной окружности по касательной в одну сторону. Волк начинает бежать в ту же сторону. Сразу после этого заяц меняет направление и чешет к берегу по той касательной (не по радиусу). Волк его постепенно нагоняет, уменьшая угол между ними, но в итоге проходит больше, чем половину круга. Я тут, пока спал, подумал, что зайцу нет смысла закручивать свой путь. Угловая скорость у него все равно меньше, чем у волка, поэтому жертвовать линейной скоростью ради угловой составляющей смысла нет. Наверное, прямолинейное движение по касательной к безопасной окружности, будет оптимальным.
Я графически обосновал. Правда, там у меня соотношение радиусов 1:4. Для строгого обоснования надо через угол прямоугольного треугольника решать (на который заяц отклонится от исходной точки, где он был напротив волка). Гипотенуза R, короткая сторона (радиус безопасной окружности) R/x. Угол - arccos(R/x/R) = arcos(1/x). Вторая сторона (путь зайца) - Rarcsin(1/x).
Нужно найти x из равенства Rarcsin(1/x) = (2Pi+arccos(1/x))R/x (т.е. путь зайца по касательной должен быть в x раз меньше, чем путь волка по большой дуге). R можно исключить, тогда окончательная формула arcsin(1/x) = (2Pi+arccos(1/x))/x, откуда x получается даже чуть больше - 4,78
P.S. Можно попробовать все же не по касательной запустить зайца, а на точку в 90 градусах от центра. Тогда путь волка будет 3PiR/2, а путь зайца R. Формула намного проще - x = 1.5Pi = 4.71, но это немного меньше, чем 4,78, а значит оптимальным, скорее всего, все же будет движение по касательной без всяких изысков.
Это сообщение отредактировал Frenger - 29 ноя 2024 в 09:09
Нужно найти x из равенства Rarcsin(1/x) = (2Pi+arccos(1/x))R/x (т.е. путь зайца по касательной должен быть в x раз меньше, чем путь волка по большой дуге).
Откуда 2пи? волк бежит пол окружности (пи радиан) + доп дугу. Должно быть просто пи+что то там.
Очевидная стратегия для зайца в том чтобы отплывать от центра в противоположную волку сторону так, чтобы центр оставался между ним и волком. Радиус окружности R. Заяц может это делать, и при этом еще удаляться от центра окружности, пока расстояние от него до центра окружности не больше R/K.
В этот момент зайцу остается R-R/K) до берега, и тут он начинает грести прямо к берегу. Скорость зайца 1, скорость волка K.
Для убегания зайца нужно: R-R/K < pi*R/K K < pi + 1 Заяц точно сбежит с указанных условиях, а также при скорости волка в пределах pi+1.
Примечание: я затрудняюсь сходу доказать, что на втором этапе, когда заяц пересек внутреннюю окружность диаметром R/K, ему оптимально грести прямо к берегу, а не под некоторым углом в направлении "к берегу в сторону от волка". Возможно, полученный результат можно еще немного улучшить в пользу зайца.
Очевидная стратегия для зайца в том чтобы отплывать от центра в противоположную волку сторону так, чтобы центр оставался между ним и волком. Радиус окружности R. Заяц может это делать, и при этом еще удаляться от центра окружности, пока расстояние от него до центра окружности не больше R/K.
В этот момент зайцу остается R-R/K) до берега, и тут он начинает грести прямо к берегу. Скорость зайца 1, скорость волка K.
Для убегания зайца нужно: R-R/K < pi*R/K K < pi + 1 Заяц точно сбежит с указанных условиях, а также при скорости волка в пределах pi+1.
Примечание: я затрудняюсь сходу доказать, что на втором этапе, когда заяц пересек внутреннюю окружность диаметром R/K, ему оптимально грести прямо к берегу, а не под некоторым углом в направлении "к берегу в сторону от волка". Возможно, полученный результат можно еще немного улучшить в пользу зайца.
из ответа ТСа выше ясное дело, что стратегия такая есть, вот только высчитать её нужно, и коэфициент граничный определить. понятное дело, что нужно зайца опять от волка поворачивать. то есть, чтобы заяц в каждый момент плыл (подруливавл) в точку на окружности, где будет пересекаться прямая, проведённая через волка и него самого. но тут я неправ. должна по идее получиться парабола какая-то, но какая именно - не доходит. ТС подсказывать не хочет и ответ не даёт. так что я просто в ступоре.
"Парадокс" задачи в том, что волк не может изменить направление движения после того, как заяц выбажал за радиус 1/х. И нужно лишь найти максимум. Касательная к малой окружности выгляит наиболее привлекательной. По факту, надо доказывать.
что то мне подсказывает, что максимум 4.75962664234 Ненавижу геометрию точнее (1+sqrt(5))/2 + pi
Это сообщение отредактировал JavaPowered - 29 ноя 2024 в 12:39
"Парадокс" задачи в том, что волк не может изменить направление движения после того, как заяц выбажал за радиус 1/х. И нужно лишь найти максимум. Касательная к малой окружности выгляит наиболее привлекательной. По факту, надо доказывать.
касательная к e в степени x, мне кажется, а не к окружности
Короче, решение оказывается проще простого. до радиуса 1/х что волку, что зайцу похуй куда бежать. в 1/х зайцу лучше всего быть на том же диаметре в противоположной стороны что и волк и он это может устроить. Далее, заяц херачит по такой траектории, что хорда волк-заяц-окружность имеет стабильную пропорцию 1/х. Это очевидно лучшая стратегия из расчета, что волк не меняет направление (а он не меняет). Из произведения отрезков хорд имеем 1-1/х^2=1/х что дает ответ 4.76 Внезапно, что такая легкая пропорция.
что то мне подсказывает, что максимум 4.75962664234 Ненавижу геометрию точнее (1+sqrt(5))/2 + pi
Откуда эта формула? Ответ неправильный
А кто тебе сказал, что твой ответ правильный, если ты его не приводишь? мой ответ из закона пропорций хорд по описанному методу. нарисуй пару хорд в дельте и поймешь пропорцию
А в чём задача? Не сможет, волк же быстрей и нет ограничения по времени.
Волку нужно бегать вокруг озера, чтоб перехватить причаливание Зайца. А Заяц может как-угодно перемещаться внутри озера, по любой стратегии. Вопрос в том - есть ли у Зайца выигрышная стратегия чтоб спастись?
Задача реально интересная, любителям математики должна зайти
тут проста арифметика. зайцу надо быть на 1/4 ближе к берегу, чем волку бежать четверть круга. те плыть от края озера ромбом, заманивая волка на противоположенный берег. стратегия волка непонятна, как он решает куда ему бежать? по вектору зайца или мозгами.
Короче, решение оказывается проще простого. до радиуса 1/х что волку, что зайцу похуй куда бежать. в 1/х зайцу лучше всего быть на том же диаметре в противоположной стороны что и волк и он это может устроить. Далее, заяц херачит по такой траектории, что хорда волк-заяц-окружность имеет стабильную пропорцию 1/х. Это очевидно лучшая стратегия из расчета, что волк не меняет направление (а он не меняет). Из произведения отрезков хорд имеем 1-1/х^2=1/х что дает ответ 4.76 Внезапно, что такая легкая пропорция.
Эта пропорция не соблюдается даже в момент старта, поэтому не сможет поддерживаться и в дальнейшем
Как она может не соблюдаться в момент старта, если это, БЛЯТЬ, и есть момент старта? ты просто уперся в решение, которое гдето прочитал, но не факт, что оно верное.
Так что заяц делает шажок от противоположной волку точки на безопасной окружности по касательной в одну сторону. Волк начинает бежать в ту же сторону. Сразу после этого заяц меняет направление и чешет к берегу по той касательной (не по радиусу). Волк его постепенно нагоняет, уменьшая угол между ними, но в итоге проходит больше, чем половину круга.
После того как Заяц поменял направление - что мешает Волку тоже поменять направление? Таким образом они будут бесконечно колебаться около своих стартовых точек и в итоге оба подохнут голода
если вектор зайца в сторону берега хоть на чуть чуть, то все колебания его приближают к свободе, тогда как волк на месте. Еще раз! "Парадокс" задачи в том, что волк не может менять направление за пределами 1/х
Если у кого есть матлаб или типа того под рукой,очень хочется понять реальную траеткторию для соблюдения отношения хорд. Лучше уж точно не придумать, но вот как оно на круге - не очень понятно.
"Парадокс" задачи в том, что волк не может изменить направление движения после того, как заяц выбажал за радиус 1/х. И нужно лишь найти максимум. Касательная к малой окружности выгляит наиболее привлекательной. По факту, надо доказывать.
касательная к e в степени x, мне кажется, а не к окружности
Откуда взялась экспонента?
математически обосновать не смогу. всё уже давно позабыл. но мысли цепляются за него. по свойствам посмотреть, и куда-то что-то подпихнуть 1) график e^x в нулевой точке абсциссы имеет ординату 1. 2) её производная равна ей же самой. как это связано с касательными - я уже забыл, но связь есть. 3) другие свойства. вобщем, я надеюсь, найдётся достойный математик среди нас
Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии. Авторизуйтесь, пожалуйста, или зарегистрируйтесь, если не зарегистрированы.
1 Пользователей читают эту тему (1 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
ты просто уперся в решение, которое гдето прочитал, но не факт, что оно верное.
yaplakal.com