Простая тригонометрия

Очень часто последнее время замечаю, что в темах об образовании появляются ответы типа: «А мне ничего из школьного курса в жизни не пригодилось!», «А на кой хрен нужны эти синусы – косинусы? Только голову забивают!», «А я гуманитарий и тригонометрия – это ад для меня и не нужна никому!» и т.д.

Каждый раз, после подобных высказываний, меня просто распирает от желания написать какой-нибудь едкий ответ. Титаническим усилием воли удерживаю себя от этого, понимая, что вряд ли кто изменит свое мнение после этого.

Но сам задаюсь вопросом: «А почему же человек пишет, что то или иное знание ему в жизни не пригодилось?» Вот, что мне в жизни не пригодилось? Какие знания я не могу применить? А такие, в которых я нихрена не понимаю! Стало быть, если человек говорит, что не может найти применения тригонометрии, значит, он её просто не понимает, так? Не знает, что такое синус, косинус и прочее. А раз не знает, то и не применит. И будет считать, что они ему не нужны. Хотя в некоторых случаях это знание могло бы облегчить решение многих задач.

Поэтому я решил популярно объяснить, что же такое синус, косинус, тангенс и на нескольких примерах показать, где это можно применить.

Для начала, что же это за зверь – тригонометрия?
ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции. Все просто.
Итак, приступим. Для начала, определимся с терминами (если кто забыл).
Прямоугольный треугольник – треугольник с углом 90˚ (прямой угол).
Те две стороны треугольника, что образуют прямой угол, называются катетами. Оставшаяся сторона – это гипотенуза.

Чертим прямоугольный треугольник. Один угол обзовем – угол ф. Длина гипотенузы – С. Длина катетов a и b(Рис. 1)

Это сообщение отредактировал DEFCON - 15 мар. 2016 г. в 21:07

На этом треугольнике чертим окружность радиусом 1. Миллиметров, метров – не важно. Главное, чтобы наша окружность пересекала две стороны треугольника – гипотенузу и катет. Центр окружности – точка О. (Рис.2)

Из точки пересечения окружности с гипотенузой опустим перпендикуляр на катет нашего треугольника. Длина этого перпендикуляра – есть синус угла ф
Косинус угла ф – это расстояние от точки О до нашего перпендикуляра. То есть, мы просто образмерили маленький треугольник (внутри окружности). Его гипотенуза равна 1. Один катет равен sin(ф), а другой – cos(ф). Все просто  (Рис.3)

Это сообщение отредактировал DEFCON - 15 мар. 2016 г. в 21:02

Теперь самое главное – а зачем нам все это??? А затем, что зная размеры маленького треугольника, мы с легкостью рассчитаем и размеры сторон подобного большого треугольника.
Гипотенуза большого треугольника равна С. Гипотенуза маленького, как мы помним, равна 1. Значит, гипотенуза большого треугольника больше гипотенузы маленького треугольника в С раз. И катеты большого треугольника больше катетов маленького треугольника тоже в С раз. Так как треугольники подобны.
Поэтому катет a большого треугольника будет равен: a=C*sin(ф) (Рис. 4)

Это сообщение отредактировал DEFCON - 15 мар. 2016 г. в 21:03

Катет b большого треугольника будет равен: b=C*cos(ф) (Рис. 5)
Теперь мы легко можем найти любой из катетов треугольника, если нам известна длина гипотенузы и угол. Или же мы можем найти длину гипотенузы, если известна длина одного из катетов и угол.

Например, строим двускатную крышу. Угол ската – 40 градусов. Ширина половины крыши – 5 метров. Какой длины стропила нужны?
Стропила – это гипотенуза нашего треугольника. Известен катет b=5 метров и угол – 40 градусов.
Тогда используя формулу b=C*cos(ф) найдем гипотенузу С
C=b/ cos(ф)=5/ cos(40˚)=6,53 метра. Это искомая длина наших стропил. (Рис.6)

Но тут встает еще один вопрос – длину стропил мы посчитали. А какой высоты должна быть центральная стойка, чтобы у нас получился этот самый угол в 40 градусов??
Мы уже нашли длину гипотенузы – 6,53 метра. И можно сплясать от нее и найти длину вертикальной стойки как: а= C*sin(ф) = 6,53 * sin(40) = 4,2 метра.
Но у нас же есть тангенс!!! Тангенс – показывает, во сколько раз размер одного катета отличается от размера другого: a/b=tan(ф).
Если строго, то тангенс – это отношение синуса к косинусу(Рис. 7)
Значит, длина центральной стойки будет равна: a=b* tan(ф) = 5* tan(40)=4,2 метра.
Как видим, тригонометрия может облегчить жизнь во время стройки. Можно ли еще где-нибудь применить эти знания? Несомненно! Дерзайте.